Сколько блоков в пирамиде хеопса
Перейти к содержимому

Сколько блоков в пирамиде хеопса

  • автор:

К вопросу о размерах и пропорциях пирамиды Хеопса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Радзюкевич Андрей Владиславович, Марченко Юрий Григорьевич

В работе проводится сопоставление наиболее распространенных гипотез, описывающих логику формообразования пирамиды Хеопса . Исследуется научное предположение, основанное на пропорции золотого сечения . Текст Геродота о том, что боковая грань пирамиды Хеопса равна квадрату высоты пирамиды, однозначно дает основание для утверждения, что пропорция золотого сечения присутствует в геометрии пирамиды. Однако наличие иррациональной золотой пропорции вызывает сомнения в контексте уровня развития математики Древнего Египта. В статье предлагается иная трактовка текста Геродота, основанная на использовании так называемых квадратных чисел. Предложена новая метрологическая интерпретация размеров пирамиды Хеопса , что дает возможность осуществить реконструкцию логики ее формообразования.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Радзюкевич Андрей Владиславович, Марченко Юрий Григорьевич

Исследование геометрографической схемы Великой пирамиды в Гизе
Закон согласия: гипотеза на основе пифагорийского суждения о сущности и тождестве числа
Две тысячи седьмой год в датах нелинейной динамики. Код да Винчи и числа Фибоначчи
Египетская нумерология как феномен традиционной культуры
Проект радиопослания для внеземных цивилизаций «Золотые крылья лемнискаты»
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

PYRAMID OF CHEOPS: SIZES AND PROPORTIONS

The paper presents a comparison of the most widespread hypotheses describing the principles of formation of the Pyramid of Cheops. A scientific guess based on a golden ratio is investigated in this paper. Herodotus’s text about the fact that the lateral side of the Pyramid is equal to its height square, unambiguously proves the statement that the golden ratio is present in the Pyramid geometry. However, the existence of irrational golden ratio proportion raises doubts in relation to the level of development of mathematics in Ancient Egypt. The paper gives the different interpretation of Herodotus’s text based on the use of the perfect square. Also, a new metrological interpretation of the Pyramid dimensions is suggested that gives the possibility of modifying its formation principles.

Текст научной работы на тему «К вопросу о размерах и пропорциях пирамиды Хеопса»

АРХИТЕКТУРА И ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО

РАДЗЮКЕВИЧ АНДРЕЙ ВЛАДИСЛАВОВИЧ, канд. архит., доцент, radz@rambler.ru

МАРЧЕНКО ЮРИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ, докт. культурологии, профессор, teneshev@yandex.ru

Новосибирская государственная архитектурно-художественная академия,

630099, г. Новосибирск, Красный проспект, 38

К ВОПРОСУ О РАЗМЕРАХ И ПРОПОРЦИЯХ ПИРАМИДЫ ХЕОПСА

В работе проводится сопоставление наиболее распространенных гипотез, описывающих логику формообразования пирамиды Хеопса. Исследуется научное предположение, основанное на пропорции золотого сечения. Текст Геродота о том, что боковая грань пирамиды Хеопса равна квадрату высоты пирамиды, однозначно дает основание для утверждения, что пропорция золотого сечения присутствует в геометрии пирамиды. Однако наличие иррациональной золотой пропорции вызывает сомнения в контексте уровня развития математики Древнего Египта. В статье предлагается иная трактовка текста Геродота, основанная на использовании так называемых квадратных чисел. Предложена новая метрологическая интерпретация размеров пирамиды Хеопса, что дает возможность осуществить реконструкцию логики ее формообразования.

Ключевые слова: историческая метрология; пирамида Хеопса; пропорция золотого сечения; число Пи; квадратные числа.

ANDREI V. RADZYUKEVICH, PhD, A/Professor, radz@rambler.ru

YURIIG. MARCHENKO, DSc, Professor, teneshev@yandex.ru

Novosibirsk State Academy of Architecture and Fine Arts, 38, Krasnyi Ave., 630099, Novosibirsk, Russia

PYRAMID OF CHEOPS: SIZES AND PROPORTIONS

The paper presents a comparison of the most widespread hypotheses describing the principles of formation of the Pyramid of Cheops. A scientific guess based on a golden ratio is investigated in this paper. Herodotus’s text about the fact that the lateral side of the Pyramid is equal to its height square, unambiguously proves the statement that the golden ratio is present in the Pyramid geometry. However, the existence of irrational golden ratio proportion raises

© Радзюкевич А.В., Марченко Ю.Г., 2015

doubts in relation to the level of development of mathematics in Ancient Egypt. The paper gives the different interpretation of Herodotus’s text based on the use of the perfect square. Also, a new metrological interpretation of the Pyramid dimensions is suggested that gives the possibility of modifying its formation principles.

Keywords: historical metrology; Pyramid of Cheops; golden ratio; the number n; perfect square.

Пирамида Хеопса (Khufu) совместно с комплексом пирамид в Гизе относится к числу ключевых памятников истории мировой архитектуры (рис. 1).

Рис. 1. Пирамида Хеопса в составе комплекса пирамид в Гизе

Изучению геометрии пирамиды посвящено огромное количество исследований, в которых содержится целый ряд гипотез с реконструкцией логики формообразования пирамиды. В большом количестве научных и научно-популярных текстов приводятся различные доводы о наличии в пирамиде Хеопса пропорции золотого сечения. Главным основанием для «золотой» гипотезы служит утверждение Геродота о том, что площадь боковой грани пирамиды равна квадрату ее высоты. Подобное сообщение о математической особенности геометрии пирамиды, по всей видимости, является уникальным и, очевидно, не случайным. Следует уточнить смысл текста Геродота. В русском переводе Г.А. Стратановского текста о пирамиде Хеопса (книга II, часть 124) говорится, что «она четырехсторонняя, каждая сторона ее шириной в 8 плефров и такой же высоты» [1]. Неточность перевода была отмечена Д.Д. Мордухай-Болтовским [2] и А.И. Щетниковым [3]. Они предлагают иную формулировку: «У неё с каждой стороны грань в восемь плефров, равная квадрату высоты», т. е. каждая грань пирамиды имеет площадь, равную квадрату высоты пирамиды (рис. 2).

Рис. 2. Геометрическая схема пирамиды Хеопса, соответствующая формуле Геродота (площадь боковой грани пирамиды равна квадрату ее высоты)

Рассмотрим детально вопрос о соотношении площади грани пирамиды к ее высоте. Обозначим высоту пирамиды, половину стороны основания и медиану как А, В и С соответственно (рис. 3).

Рис. 3. Геометрическая схема пирамиды Хеопса с обозначением высоты пирамиды (а), медианы (с) и половины стороны основания (в)

Площадь боковой грани пирамиды равна ВхС. В соответствии с теоремой Пифагора получается, что

Кроме того, исходя из текста Геродота получается, что

Следовательно, подставляя ВхС вместо А2, получаем

Решая это уравнение, ориентируясь на современный уровень развития математики, получаем, что длина медианы пирамиды должна относиться к половине ее основания в пропорции, которую принято называть пропорцией золотого сечения и обозначать буквой «Ф» (рис. 4).

Рис. 4. Наличие пропорции золотого сечения в пирамиде Хеопса в соответствии с формулировкой Геродота

Более того, формулировка Геродота содержит в себе еще одну любопытную закономерность, отмеченную Д.Д. Мордухай-Болтовским, — медиана пирамиды так относится к ее высоте, как высота относится к половине основания. Иначе говоря, гипотенуза треугольника так относится к большому катету, как большой катет относится к малому катету. Очевидно, что это условие выполняется только в случае отношения гипотенузы к малому катету в пропорции золотого сечения.

Не затрагивая пока вопроса об историчности такого подхода, посмотрим, как соотносится с формулой Геродота еще одна широко распространенная гипотеза, согласно которой в форме пирамиды присутствует целочисленная пропорция 14/11. Предполагается, что она символизирует «круговые» соотношения, связанные с дробью 22/7, которая в древности могла использоваться в качестве целочисленного аналога числа Пи.

Предположим, что соотношение 14/11 справедливо как для отношения гипотенузы к большому катету, так и для отношения большого катета к малому. Анализ проведенных ранее исследований показывает, что такое двойное использование пропорции 14/11, судя по доступной нам литературе, пока не применялось. Допуская это предположение, получаем, что связать размеры малого катета, большого катета и гипотенузы можно через целочисленную цепочку модулей 121 — 154 — 196 (рис. 5).

В данном случае отношение медианы к половине стороны получается равным 1,6198347 (196/121), что отличается от золотого соотношения всего лишь на 0,11 % или на 1/900 часть.

В связи с этим произведем детальное сопоставление представленных гипотез: «иррационально-золотой» и «целочисленно-круговой». Обратимся прежде всего к фактическим обмерам пирамиды Хеопса. Общепринятыми в настоящее время считаются следующие размеры этого древнейшего сооружения: длина основания равна 230,37 м, а вычисленная из угла наклона граней пирамиды высота — 146,6 м [4]. Расчетный размер апофемы при этом состав-

ляет 186,44 м. Фактическое отношение высоты пирамиды к половине ее основания равно 1,272735. Если следовать «золотой» гипотезе, то этот коэффициент представляет собой л/ф и равен 1,27201965. Если же придерживаться гипотезы, основанной на дроби 14/11, то этот коэффициент получается равным 1,272727272. Сопоставляя полученные коэффициенты, следует отметить, что второй вариант точнее «золотого» более чем в 90 раз. Если же сопоставить оба этих коэффициента с фактическими реальными размерами, то, полагая длину основания пирамиды базовой величиной, получаем, что высота пирамиды в первом случае должна быть равна 146,599 м, а во втором — 146,518 м. Отмечая просто невероятное идеально-фантастическое соответствие (1 мм погрешности) первого варианта фактическому значению, заметим также, что и «золотой» вариант исключительно точен. Отклонение составляет всего 82 мм на 146,6 м.

Рис. 5. Пропорциональные целочисленно-модульные соотношения между основными элементами пирамиды Хеопса

Рассмотрим историко-метрологические особенности пирамиды Хеопса. Исходя из приведенных вычислений и фактических размеров сторон основания и высоты пирамиды, получаем величину модуля, равную 0,952 м. Размер в 196 таких модулей равен 186,59 м, что отличается от расчетного размера апофемы (186,44 м) на 15 см. Учитывая, что погрешность колебаний фактических размеров в сторонах основания пирамиды составила 20,1 см, можно констатировать, что погрешность в 15 см не превышает

фактические колебания размеров и ею можно пренебречь. Гипотеза золотого сечения, основанная на иррациональном значении «золота», дает размер апофемы в 186,37 м, что меньше размера, рассчитанного по теореме Пифагора, на 7 см. Если же ориентироваться на исторически более оправданную «целочисленно-золотую» гипотезу, представленную в работе Ли-вио Стеччини [5], согласно которой формообразующий треугольник пирамиды Хеопса содержит стороны, соотносящиеся как 55х70х89, погрешность получается равной 5 см. Следовательно, обе гипотезы по соответствию фактическим размерам следует признать истинными. Теперь рассмотрим обе гипотезы на предмет их соответствия данным по исторической метрологии. Вариант Стеччини отвечает общепринятому положению о том, что высота пирамиды Хеопса и сторона ее основания равны соответственно 280 и 440 локтям царским. И в этом случае расчетная величина апофемы получается равной 356 таким локтям (89х4). Однако использование величины царского локтя в пирамиде Хефрена (КЪай»а) дает такие «неудобные» величины, как 410 и 273 ед. [4]. Хотя практически все исследователи безоговорочно признают, что формообразующим треугольником для этой пирамиды был простейший египетский треугольник со сторонами 3х4х5. В данном случае катеты, равные 205 и 273 царским локтям, не соответствуют соотношению 3/4, и поэтому данный метрологический подход содержит внутреннее противоречие.

Рассмотрим подробнее полученный модуль (0,952 м). В первом приближении эту величину можно интерпретировать как два локтя по 0,476 м или три фута по 0,317 м. По исследованиям Н.Н. Болотина, подобные размеры локтя и фута составляли основу так называемой древнеассирийской системы мер [6]. По его мнению, она образовалась в результате уменьшения мер так называемой среднемесопотамской системы на 1/10 величину. Так, локоть среднемесопотамский обыкновенный, равный 0,528 м, был уменьшен до 0,475 м. Соответственно, фут в 0,352 м сократился до 0,3168 м. Исследование Н.Н. Болотина показывает, что подобные приемы с уменьшением мер на 1/10 величины встречались в истории древних мер неоднократно. Например, фараон Эхнатон (Аменхотеп IV) провел аналогичную налоговую реформу, уменьшив налоги с населения на 1/10 часть. Следовательно, предположим, что полученный нами модуль равен двум локтям, каждый из которых имеет размер в 9/10 от египетского царского локтя. В этом случае используемые нами меры будут соотноситься между собой следующим образом:

локоть царский/10 = локоть расчетный/9 = фут расчетный/6.

Данная метрологическая реконструкция имеет целый ряд косвенных подтверждений. Во-первых, следует отметить, что единственная находка археологов и, очевидно, самый главный элемент пирамиды Хеопса — сохранившийся в камере фараона саркофаг (рис. 6) снаружи имеет ширину 0,96 м и длину 2,24 м, что достаточно точно можно интерпретировать как 3 и 7 расчетных фута.

Рис. 6. Фото сохранившегося гранитного саркофага из пирамиды Хеопса

Учитывая, что толщина стенок равна 0,16 м, внутренние размеры саркофага получаются равными 2 и 6 расчетным футам. Наружная ширина саркофага фактически равна принятому нами модулю соразмерения параметров пирамиды Хеопса. Во-вторых, по подсчетам Ф. Петри, пирамида Хеопса содержит около 2 300 000 блоков весом 2,5 т каждый, размером в среднем 127x127x71 см [7]. В переводе на реконструируемые меры получаем цепочку в 4x4x2,25 фута по 0,317 м. В переводе на ладони (1/4 фута) получаем цепочку в 16x16x9 ладоней. Характерно, что числа 16 и 9 являются квадратными числами.

Необходимо также отметить, что размер в 1,27 м есть величина, тождественная двойному шагу, упоминаемому у Витрувия. Он пишет, что Эрато-сфен вычислил длину окружности Земли равной 252 000 стадиям (700 стадий на один градус), что равно также 31 500 000 шагам [8]. Учитывая, что по оценкам метрологов Эратосфен очень точно измерил длину окружности Земли, получаем, что величина шага равна примерно 1,27 м (вероятно, имелся в виду размер двойного шага), т. е. она идентична 4 расчетным футам. Поскольку в стадии получается 125 таких шагов (31500000/252000), то в ней, соответственно 500 таких футов. Длина стадии Эратосфена в этом случае становится равной примерно 158,7 м. Следует отметить, что в этой стадии содержалось также 300 «местных локтей» [9]. Отсюда получается, что «местный локоть» был равен 0,529 м, а его величина соотносилась с футом в пропорции 5/3 или 10/6, что соответствует принятой выше метрологической модели. Заметим, что числа 10 и 6 имели в древней нумерологии особый статус. Об этом имеется упоминание в трактате Витрувия «Десять книг об архитектуре». В книге третьей он сообщает, что древние зодчие «. за основание мер, явно необходимых при всяких работах. установили число десять». Однако, «математики, возражая на это, считают совершенным числом шесть». И только позднее, «когда усмотрели, что оба числа, и шесть и десять, совершенны, то соединили их в одно и получили совершеннейшее число — шестнадцать».

По мнению известного египтолога Жана-Филиппа Лауэра [10], в пирамиде Хеопса целочисленной дробью определяется не только угол наклона апофемы, но и угол наклона ребра. Он считает, что высота пирамиды соотносится с половиной длины диагонали основания в пропорции 9/10. В этом случае можно допустить, что зодчий пирамиды мог одновременно использовать как царский локоть, так и расчетный локоть в 0,475 м, определяя высоту пирамиды в 308 локтей расчетных, а полудиагональ основания — в 308 локтей царских. Очень хорошо косвенно подтверждает принятую гипотезу метрологическая интерпретация размеров рядом стоящей пирамиды Хефрена. Ее высота получается равной «круглому» числу в 300 расчетных локтей. Сторона основания при этом равна 450 локтям. В этом случае соотношение половины длины основания к высоте оказывается тождественным соотношению катетов в египетском треугольнике 300/225 = 4/3. Соответственно, апофема получается равной 375 таким локтям.

Для сопоставления гипотез можно также обратиться к размерам третьей пирамиды комплекса в Гизе — пирамиды Микерина (Мепкаига). Однако данные по ее обмерам настолько противоречивы, что делать это можно только с большой долей условности. В работе [10] сообщается, что наклон ее граней тождествен наклону граней пирамиды Хеопса — примерно 52°. Длина основания и высота пирамиды принимаются равными соответственно 202 и 125 локтям царским, что почему-то трактуется как соотношение, близкое 22/14. Приведенные в Википедии примерные обмерные данные (102,2-104,6 м — стороны основания и 65,55 м — высота) дают возможность предположить, что эти размеры соответствуют 220 и 140 расчетным локтям по 0,475 м. Нетрудно заметить, что получилось соотношение, тождественное соотношению размеров пирамиды Хеопса — 220/140 = 484/308. Исходя из этих размеров получается, что пирамиды Хеопса и Микерина находятся в пропорции 11/5. Представим все реконструкции проектных размеров пирамид на рис. 7.

Рис. 7. Реконструкция проектных размеров пирамид в Гизе (мера — расчетный локоть

Конечно, сложно говорить о какой-либо реконструкции логики формообразования ансамбля пирамид. Даже предположение о том, что все они были сделаны в соответствии с неким единым замыслом, кажется весьма смелым.

Тем не менее используемая мера длины вполне целочисленно и «кругло» описывает все основные размеры пирамид комплекса. Такая реконструкция проектных размеров может стать основой для дальнейших поисков логики формообразования. Вполне возможно, что полученные числовые значения можно будет рассматривать в аспекте архитектурной космологии и символики [11].

Рассмотрим ниже обозначенные гипотезы в аспекте их соответствия истории математики. Вопрос о сознательном использовании пропорции золотого сечения в пирамиде Хеопса является очень спорным. Золотая пропорция является величиной иррациональной, а древние египтяне, судя по историческим документам, могли оперировать только целыми числами и дробями. Впервые в исторических текстах эта пропорция была зафиксирована только в III в. до н. э. в «Началах» Эвклида при решении задачи геометрического построения правильного пятиугольника и пятнадцатиугольника.

В исследованиях ряда авторов высказывается предположение о том, что пропорция золотого сечения первоначально была зафиксирована в текстах Платона (перевод С.С. Аверинцева). В диалоге «Тимей» приводится следующая формула пропорциональной взаимосвязи: «Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связу-емое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел — как кубических, так и квадратных — при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство». Однако детальный разбор текста Платона, проведенный В.С. Беляниным, показывает, что пропорция золотого сечения тут ни при чем [12]. При условии, что исходные числа являются либо квадратными, либо кубическими, всегда можно вычислить «среднее» значение, удовлетворяющее формуле Платона. При этом пропорциональные соотношения между выбранными числами могут быть самыми разными. Например, если взять два произвольных квадратных числа, допустим 9 (3×3) и 25 (5×5), то можно вычислить что «наилучшим связующим» между ними будет число 15. Пропорциональные соотношения 25/15 и 15/9 оказываются равными 1,666666. А для квадратных чисел, допустим 9 (3×3) и 36 (6×6), «связующим» числом будет 18. И пропорция между 36/18 и 18/9 будет равна 2. Фактически для любой пары квадратных или кубических чисел можно найти «наилучшее общее связуемое» (табл. 1).

Для нашего же конкретного случая чрезвычайно важным следует считать то обстоятельство, что речь в этом высказывании идет именно о квадратных и кубических числах. В нашей гипотезе апофема и половина длины основания (гипотенуза и малый катет) описываются с помощью именно квадратных чисел — 11×11 и 14×14. Большой катет (высота пирамиды) в этом случае и является «наилучшим связуемым», т. к. он является средним геометрическим между малым катетом и гипотенузой: 11×14 = 154.

Вычисление средних значений для двух произвольных квадратных чисел

2×2 3×3 4×4 «5×5 6×6 7×7 8×6 «9×9 10×10 «[11×11 12×12 «13×13 14×14 15×15 16×16

4 ¡9 16 25 ¡36 49 64 81 100 121 144 160 196 225 256

16×1 в 256 32 :4в 64 50 96 112 12В 144 160 176″ 192 208″ 224 240 (

15×15 225 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 160 195 210

14×14 196 28 [42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182

13×13 169 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156

12×12 144 24 36 [Во 72 64 96 108 120 132

11*11 121 22 33 44 55 66 77 88 99 110

10×10 100 20 эо «40 50 60 70 80 90

5×9 81 13 [27 36 45 54 63 72

8×8 64 16 Й4 32 40 48 56

7×7 ад 14 21 «[28 ;35» 42 196-154-121 Пирамида Хеопса

:вхБ 36 12 Г® 24 30

:5х5 25 10 15 20 81-36-16 Па рфено в Афинах

Особенность данного случая состоит в том, что зодчему нужно было подобрать среднее не для любых произвольных квадратных или кубических чисел, а для тех чисел, которые бы позволили построить прямоугольный треугольник. В этом случае величина большего числа (гипотенузы) должна соотноситься с величиной меньшего числа (малого катета) в пропорции, близкой к той, которую сегодня принято называть золотым сечением. Поэтому формулировку Платона можно связать с пропорцией золотого сечения только в одном случае, когда все три числа образуют стороны прямоугольного треугольника. При этом соотношение катетов теоретически должно быть равно примерно значению 1,272.

Рассмотрим, велика ли вероятность появления таких вариантов, одновременно соответствующих и формуле Платона, и теореме Пифагора. Для предварительной проверки возьмем только первые 25 квадратных чисел (табл. 2).

Как видно из приведенных примеров, вариант, тождественный пропорциям пирамиды Хеопса, является наиболее точным — всего 0,114 %. Если предположить, что зодчий использовал именно такой подход при определении размеров, то становится понятным, что решающее влияние на выбор варианта оказала его исключительно высокая точность соответствия формуле, тождественной теореме Пифагора. Как именно производился подбор числовых значений, можно только предполагать. Очевидно, что современный подход к решению данной задачи, базирующийся на решении биквадратного уравнения, не мог быть использован в то время. Иначе придется признать достоверной гипотезу о неких космических пришельцах. По всей видимости, расчет проводился на основе эмпирического подбора трех чисел, соответствующих исходным условиям «совершенства». Можно предположить, что поиск нужного варианта происходил с помощью раскладывания на плоскости фигурных квадратных и прямоугольных чисел и с использованием схем гномона.

Следует также отметить, что использование пропорций, тождественных формулировке Платона, по всей видимости, было предпринято в Парфеноне. Соотношение длины стилобата, ширины стилобата и высоты ордера, вероят-

но, определялось зодчими по целочисленной цепочке 81 — 36 — 16 [13]. Отличие заключалось в том, что зодчим не нужно было выстраивать из этих величин прямоугольный треугольник.

Вычисление пропорций целочисленных прямоугольных треугольников

Число Гипотенуза Большой Малый Приближенно- целочисленная Погрешность,

(число катет катет цепочка %

2 4 3.1447 2 472

4 10 12,579 9.889

5 25 19,054 15,451

6 36 28,302 22,250

7 49 36.522 30,285

0 64 50,314 39,555

9 81 63,078 50,062 81-63-49 9×9 — 9×7 — 7×7 2,167%

10 100 78,610 61,805

11 121 95,126 74,784

12 144 113,208 88.999

13 109 132,862 104,451

14 190 154,088 121,138 190-154-121 14×14-14×11 -11×11 0,114%

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

15 225 176,837 139,062

10 250 201,258 158,222

17 289 227,201 178,017

18 324 254,717 200,249

19 301 283,805 223,117 361-285-225 19×19-19×15 -15×15 0,837%

20 400 314,465 247,221

21 441 346,698 272,501

22 484 380,503 299,138

23 529 415,881 326,950 529-414-324 23×23 — 23×18 — 18×16 0,910%

24 576 452,830 355,998

25 625 491,352 336,233

Что же касается гипотезы золотого сечения, то для использования ее при анализе форм древнеегипетских памятников нет исторических оснований. В фундаментальной работе Roger Herz-Fischler [14], посвященной изучению исторических документов, содержащих прямые или косвенные сведения о золотом сечении, показывается, что к периоду Древнего Египта можно отнести только рисунки пентаграммы. Указывается также, что вавилоняне умели на основе модульных соотношений строить фигуру пентаграммы на основе прямоугольного треугольника 3-4-5 (рис. 8).

Рис. 8. Способ целочисленного построения фигуры пентаграммы (Древний Вавилон)

Любопытно, что абсолютно такой же способ построения правильного пятиугольника приводит теоретик архитектуры эпохи Возрождения Винченцо Скамоцци в своем трактате по архитектуре [15]. На 32-й странице трактата представлены приближенно целочисленные схемы правильных многоугольников (рис. 9).

Рис. 9. Страница из трактата Винченцо Скамоцци (1615 г.)

На одной из схем (выделено красным) приведена схема правильного пятиугольника, построенного с помощью десяти треугольников со сторонами 3x4x5, известного в истории математики как египетский треугольник (рис. 10).

Рис. 10. Схема приближенного построения правильного пятиугольника (В. Скамоцци)

Рассмотренный материал дает возможность предположить, что присутствие в пирамиде Хеопса «золотой» пропорции носит случайный характер как побочный результат поиска пропорций «особого» прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза относится к большому катету так же, как большой катет относится к малому катету.

Попытки интерпретировать пропорции пирамиды Хеопса с помощью гипотезы золотого сечения следует признать недостаточно убедительными, т. к. они имеют весьма слабые историко-математические обоснования в сравнении с целочисленно-модульными интерпретациями. Представленная гипотеза хорошо соотносится с работами [16, 17], в которых собрана определенная аргументация против использования пропорции золотого сечения в искусствоведческих исследованиях.

1. Геродот. История : в 9 кн. / пер. и примеч. Г.А. Стратановского. — Л. : Наука, 1972. -600 с.

2. Начала Эвклида : в 3 т. / пер. и комм. Д.Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И.Н. Веселовского и М.Я. Выгодского. — М. : ГТТИ, 1949. — 50 с.

3. Щетников, А.И. Золотое сечение, квадратные корни и пропорции пирамид в Гизе / А.И. Щетников. — Условия доступа : http://www.nsu.ru/classics/pythagoras/Pyramis.pdf

4. Силиотти, А. Египет. Пирамиды (Атлас чудес света) / А. Силиотти. — М., 1999. — 166 с.

5. Livio Catullo Stecchini. A History of Measures. The Dimensions of the Great Pyramid. -Условия доступа : http://www.metrum.org/measures/dimensions.htm

6. Болотин, Н.И. Формирование и развитие мер, их назначение для исследования памятников материальной культуры: дис. . докт. архит. — Новосибирск, 1975. — 354 с.

7. Непомнящий, Н.Н. По следам великанов / Н.Н. Непомнящий. — М. : Олимп; ООО «Фирма Издательство ACT», 1998. — 512 с.

8. Витрувий. Десять книг об архитектуре / Витрувий ; пер. с латинского Ф.А. Петровского. Изд. 2-е, испр. — М., 2003. — 205 с.

9. Томпсон, Дж.. История древней географии / Дж. Томпсон. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1953. — 590 с.

10. Corinna, Rossi. Arch^^re and mathematks in Antient Egypet / R. Corinna // Cambridge university press. — 2003. — 280 p.

11. Поляков, Е.Н. Образ вселенной в культовом зодчестве древнего мира / Е.Н. Поляков. -Томск : Изд-во ТГАСУ, 2009. — 434 с.

12. Белянин, В.С. Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа. — Условия доступа : http://www.a3d.ru/archi/stat/no_mif.php

13. Радзюкевич, А.В. Золотой блеск модулей Парфенона / А.В. Радзюкевич // Архитектура, приложение к Строительной газете. — 1989. — № 14. — 195 с.

14. Herz-Fischler, Roger. A mathematical history of the golden number / Roger Herz-Fischler. -Mineola, NY, 1998. — 180 p.

15. Scamozzi, V. Architettura universal / V. Scamozzi. — Venezia. — 1694. — 287 p.

16. Радзюкевич, А.В. Критический анализ исследования Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечения» / А.В. Радзюкевич // AMIT 4(29) 2014. — Условия доступа : http://marhi.ru/AMIT/2014/4kvart14/radzukevich/radzukevich.pdf

17. Радзюкевич, А.В. К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве / А.В. Радзюкевич // Ползуновский вестник. — 2014. — № 1. — С. 159-164. — Условия доступа : http://elib.altstu.ru/elib/books/Files/pv2014_01/pdf/159radzukevich.pdf

1. Stratanovskii G.A. Gerodot. Istoriya [Herodotus, History]. In 9 books. Leningrad : Nauka Publ., 1972. 600 p. (transl. from Gr.)

2. Mordukhai-Boltovskii D.D. Nachala Evklida [Euclid’s Elements]. In 3 vol. Moscow : GTTI Publ., 1949. 50 p. (transl. from Gr.)

3. Shchetnikov A.I. Zolotoe sechenie, kvadratnye korni i proportsii piramid v Gize [Golden ratio, square roots and proportions of pyramids in Giza]. Available at : http://www.nsu.ru/classics/pythagoras/Pyramis.pdf (rus)

4. Siliotti A. Egipet. Piramidy (Atlas chudes sveta) [Guide to the Pyramids of Egypt]. Moscow. 1999. 166 p. (transl. from It.)

5. Stecchini L.C. A History of Measures. The Dimensions of the Great Pyramid. Available at : http://www. metrum. org/measures/dimensions.htm

6. Bolotin N.I. Formirovanie i razvitie mer, ikh naznachenie dlya issledovaniya pamyatnikov ma-terial’noi kul’tury [Formation and development of measures, their purpose in study of cultural heritage. PhD thesis]. Novosibirsk. 1975. 354 p. (rus)

7. Nepomnyashchii N.N. Po sledam velikanov [In the footsteps of giants]. Moscow : AST Publ., 1998. 512 p. (rus)

8. VitruviusM. Desyat’ knig ob arkhitekture [Ten Books on Architecture]. Moscow : 2003. 205 p. (transl. from Lat.)

9. Thomson J.O. Istoriya drevnei geografii [History of Ancient Geography]. Moscow : 1953. 590 p. (transl. from Engl.)

10. CorinnaR. Architecture and mathematics in Ancient Egypt. Cambridge university press. 2003. 280 p.

11. Polyakov E.N. Obraz vselennoi v kul’tovom zodchestve drevnego mira [Image of the Universe in cult architecture of the ancient world]. TSUAB Publ., 2009. 434 p. (rus)

12. Belyanin V.S. Vladel li Platon kodom zolotoi proportsii? Analiz mifa [Had Plato the code of the golden ratio? Analysis of the myth]. Available at : http://www.a3d.ru/archi/stat/no_mif.php (rus)

13. Radzyukevich A.V. Zolotoi blesk modulei Parfenona [Gold gloss of Parthenon’s modules]. Arkhitektura, prilozhenie k Stroitel’noi gazete. 1989. No. 14. 195 p. (rus)

14. Herz-Fischler R. A mathematical history of the golden number. Mineola, NY, 1998. 180 p.

15. Scamozzi V. Architettura universale. Venezia. 1694. 287 p.

16. Radzyukevich A.V. Kriticheskii analiz issledovaniya Adol’fa Tseizinga — osnovopolozhnika gipotezy ‘zolotogo secheniya’ [The critical analysis of research by Adolf Zeising — the founder of golden ratio hypothesis]. AMIT 4. 2014. Available at : http://marhi.ru/AMIT/2014/4kvart14/radzukevich/radzukevich.pdf (rus)

17. Radzyukevich A.V. K voprosu o nauchnom izuchenii proportsii v arkhitekture i iskusstve [Scientific study of proportions in architecture and art]. Polzunovskii Vestnik. No. 1. 2014. Pp. 159-164. Available at :

Сколько блоков в пирамиде хеопса

Москва и Московская область Саратовская область Ставропольский край Астраханская область Белгородская область Волгоградская область Воронежская область Кабардино-Балкарская Республика Карачаево-Черкесская Республика Краснодарский край Курская область

Нижегородская область Орловская область Пензенская область Республика Дагестан Республика Ингушетия Республика Казахстан Республика Калмыкия Республика Крым Республика Марий Эл Республика Мордовия Республика Северная Осетия-Алания

Республика Татарстан Республика Удмуртия Республики Башкортостан Ростовская область Рязанская область Самарская область Тамбовская область Ульяновская область Чеченская Республика Чувашская Республика

Инженерные хитрости древних египтян: как строили пирамиду Хеопса

Египетские пирамиды поражают нас своими размерами. Кажется, даже современные технологии вряд ли позволят построить нечто подобное, что уж там говорить о древних египтянах. Но если люди возводят сегодня и более масштабные сооружения при помощи спецтехники, то как древние египтяне строили пирамиду Хеопса? Постараемся разобраться в их хитростях.

Редакция ПМ
Getty Images

История изучения Великой пирамиды Гизы, или пирамиды Хеопса (Хуфу) началась еще в ХVIII веке, когда Наполеон привез сюда археологов, геодезистов и других ученых. Исследования продолжаются по сей день, но этот памятник архитектурного искусства Древнего Египта по-прежнему не раскрыл все свои тайны. В частности, точно неизвестно, в какой период строили пирамиды: радиоуглеродный метод дает диапазон от 2680 до н. э. до 2850 до н. э. Еще одной, самой главной загадкой стали методы транспортировки тяжелейших блоков на огромные расстояния.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Как строились египетские пирамиды?

При строительстве пирамид применялись различные техники. В одном из некрополей была обнаружена неприметная на первый взгляд фреска из захоронения времен XII династии. На ней изображено 172 человека, тянущих на санях-волокушах алебастровую статую Джехутихотепа II. Песок и полозья саней древние египтяне поливают водой, отчего скольжение существенно упрощается.

Некоторые пирамиды были построены путем перекатывания блоков с помощью люлечного механизма: подобные устройства нашли в начале XX века в результате археологических работ недалеко от Медумской пирамиды. О наличии специальных сооружений также говорит гравюра из гробницы Рехмира: на ней изображена рампа, по которой каменную глыбу перевозят на санях. Для создания пирамид местами применялась и так называемая «технология квадратного колеса»: блок квадратного сечения катился по дороге, созданной из помостов.

В 1997 году археолог Марк Ленер (Mark Lehner) провел экспериментальное строительство небольшой пирамиды с шириной основания около девяти метров и высотой 6,1 метров. Блоки массой около двух тонн перемещались силами 12−20 человек при условии использования полозьев, скользящих по деревянному настилу. Всего строителям пришлось переместить 186 блоков, чтобы возвести эту пирамиду. На такое сооружение ушло чуть более трех недель. Тогда сколько лет строили пирамиды в Древнем Египте? Согласно историку Геродоту, пирамида Хеопса, состоящая из 2,5 млн блоков, была возведена за 20 лет.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Загадка постройки пирамиды Хеопса

Но все упомянутые опыты и гипотезы не отвечают на главный вопрос о строительстве пирамид: какой механизм доставлял 2,5-тонные блоки из известняка и гранита к площадке, где возводилась пирамида Хеопса? Ответ на этот вопрос был найден только в 2017 году: международная группа археологов под руководством Ленера обнаружила папирус, в котором надсмотрщик над 40 рабочими описывал этот метод.

Процесс строительства пирамиды Хеопса складывался из нескольких этапов. При этом также использовались несколько технологий

Процесс строительства пирамиды Хеопса складывался из нескольких этапов. При этом также использовались несколько технологий

GettyImages
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Расшифровка текста дала следующие знания: сначала египтяне отвели воду от Нила и проложили через плато Гиза искусственные каналы. Затем строители соединили канатами деревянные лодки, и уже с их помощью перевезли блоки почти до самого подножия сооружения. С помощью 3D проектирования лодки, которая доставляла груз, ученым удалось выяснить: только за один рейс древние египтяне перемещали около 1 тысячи блоков за сезон разлива реки. Подготовка к строительству пирамид не занимала много времени: в среднем на весь процесс у рабочих уходило 5 дней.

Пандусы — ключ к строительству пирамид

В 2020 году археологи из Французского института восточной археологии в Каире и Ливерпульского университета обнаружили остатки системы пандусов в древнем алебастровом карьере в Хатнубе, месте в Восточной пустыне. Это дало новые представления о том, как строили египетские пирамиды: система пандусов восходит, по крайней мере, ко временам правления фараона Хуфу, построившего Великую пирамиду Гизы. Именно с ее помощью древние египтяне спускали и поднимали из каменоломен массивные блоки.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Для постройки пирамиды Хеопса египтянам пришлось перетаскать около 2,5 млн каменных блоков из карьера

Для постройки пирамиды Хеопса египтянам пришлось перетаскать около 2,5 млн каменных блоков из карьера

GettyImages

Эта система состоит из центрального пандуса, по бокам которого расположены две лестницы с многочисленными отверстиями для столбов. Используя прикрепленные веревками к деревянным столбам сани, на которых был расположен каменный блок, древние египтяне могли вытаскивать алебастровые блоки из карьера при очень крутых склонах в 20 и более градусов. Участники археологической миссии утверждают, что этот способ перемещения камня разрабатывался на протяжении полутора тысячелетий и не был новым для египтян, которые строили пирамиды в эпоху Древнего и Нового царств.

Большинство исследователей считают, что древние египтяне строили пирамиды с применением пандусных систем, но существуют разные теории о том, какие типы систем они применяли. По словам некоторых ученых, они могли использовать прямые пандусы, которые поднимались по наружным стенам пирамиды, пандусы, которые огибали эти стены, или системы пандусов внутри самой пирамиды. Системы эти были многообразны, и египтяне могли с их помощью добывать камни для возведения своих мегасооружений.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Новые открытия ученых о том, как строили пирамиды

Не всегда главные тайны были спрятаны при постройке пирамид внутри. Так, в 2021 году в небольшой деревушке Саккара группа ученых-археологов обнаружила «путь в загробный мир». Он представлял собой тоннель 20-ти метров с препятствиями, пройдя которые фараон мог попасть в загробную жизнь. Эта траншея соединяла также и другие ходы недалеко от пирамиды Джосера. Тоннель сильно отличался от остальных: он вел в небольшую комнату, в которой исследователи нашли гарпун. Им фараон мог отбиваться от тех, кто при переходе в загробный мир попытался бы ему воспрепятствовать. В тоннеле были выстроены и ловушки: многочисленные стены с углублениями в них, лестницы и рвы. Именно в одном из тоннелей, ведущих к пирамиде Джосера, египтологами была найдена «Книга мертвых» – папирус, который описывал путешествия умерших по загробному миру. Свиток оказался длиной в 16 метров и содержал заклинания и ритуальные описания для тех, кто только готовился пройти по этому «пути».

А вот в феврале 2023 года группа специалистов из Мюнхенского технического университета подтвердила наличие еще одного тоннеля, но уже в пирамиде Хеопса – о нем в научном сообществе впервые заговорили еще в 2016 году. Благодаря измерениям археологов было выдвинуто предположение о существовании полого пространства над входом. Спустя несколько лет с помощью радара, ультразвука и эндоскопии мюнхенские исследователи определили местонахождение камеры, которая была забыта на более чем 4 тысячи лет. Обнаруженное между камнями отверстие позволило рассмотреть помещение. В конечном счете оно оказалось куда вместительнее, чем по предварительным прогнозам – в нем могло поместиться до двух человек. Но зачем строили пирамиды с камерами и что скрывают стены творения древних египтян – новые задачи для исследователей одного из «Семи чудес света».

Количество блоков, из которых состоит Великая пирамида

По данным Почана (1978), Великая пирамида, сложенная в основном из известняка, с использованием мощных гранитных плит и блоков для перекрытий, имеет объем примерно 2,6 млн. куб. м и массу 7 млн. тонн. Обычные оценки числа блоков, составляющих Великую пирамиду, дают цифру от 2,3 млн. (Петри, 1885, пишет, что пирамида состоит из 2,3 млн. блоков весом 2,5 английской тонны каждый) до 2,5 млн. (Де Сальво, 2003) и даже до 2,6 млн. (Почан, 1978).

Однако, по оценкам Де Сальво (2003), «новейшие исследования показывают, что в пирамиде, возможно, насчитывается всего 750 тыс. блоков весом от 0,5 до 2 тонн».

По расчетам Тасеоса (1990), Великая пирамида состоит из 603 728 блоков, при условии, что они пригнаны как сплошная монолитная кладка, но, за вычетом объема скального холма-уступа в центре, занимающего 13 016 блоков, общее число блоков Великой пирамиды составляет 590 712 блоков. При этом Тасеос использует в расчетах совсем другие оценки величины блоков, чем, например, Петри. С другой стороны, существуют и другие оценки количества блоков. Так, некоторые исследователи полагают, что в Великой пирамиде насчитывается 3,5 или даже 4 млн. блоков (Мойер, 2003).

В беседе со мной, состоявшейся 5 декабря 2003 года в Гизе, Захи Хавасс (председатель Департамента по древностям, директор управления пирамид на плато в Гизе) сообщил, что, по новейшим оценкам, количество блоков в Великой пирамиде составляет 1,2 млн.

Некоторые исследователи считают, что Великая пирамида сложена не из монолитных каменных блоков, а из бетонных блоков, сделанных из того же материала. Так, Джеймс Бонвик еще в 1877 году писал: «Один уважаемый архитектор поведал миру, что все сооружение (Великая пирамида. — Пер.) возведено из pise. Воду при помощи сложных механизмов подавали на нужную высоту, где ею разводили песок и прочие материалы, получая блоки нужных размеров и укладывая их на место ярус за ярусом». Однако уже в работе, написанной в 1928 году, Мэнли П. Холл говорил: «Выдвинутая не так давно гипотеза о том, что Великая пирамида и Большой Сфинкс были выполнены из искусственных каменных блоков, изготовленных прямо на месте, теперь отвергнута» (Холл, 2003). Уже в наши дни Джозеф Давидович (Давидович и Моррис, 1988) и Гадала (2000) высказывали идею о том, что Великая пирамида сложена из «искусственного камня» или бетона.

Я специально изучал этот вопрос, исследуя и сравнивая бесспорно подлинные образцы камня из скального ложа и камни, из которых сложена Великая пирамида. В итоге я окончательно убедился в том, что Великая пирамида действительно состоит из блоков природного камня, которые добывались в каменоломнях и доставлялись на стройплощадку.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Читайте также

Великая пирамида

Великая пирамида Великая пирамида недаром считается одним из Чудес Света. С широкой платформы уходит в египетское небо 201 ярус каменных блоков на высоту современного сорокаэтажного здания. Они напоминают гигантскую лестницу, подняться по которой могут только великаны

Глава 5 СОВЕТСКОЕ «ОБЩЕСТВО ЗНАНИЯ»: СБОРКА ОСНОВНЫХ БЛОКОВ

Глава 5 СОВЕТСКОЕ «ОБЩЕСТВО ЗНАНИЯ»: СБОРКА ОСНОВНЫХ БЛОКОВ Строительство «общества знания» характеризуется изменениями, которые происходят в социодинамике культуры, конкретно — в движении, восприятии и использовании знаний. Уже в Российской империи с конца XIX века эти

Великая пирамида

Великая пирамида Совершенство Великой пирамиды не раз вызывало изумление очевидцев и смущало даже лучшие умы: не раз великие мыслители приходили к ошибочному заключению, что подобное творение могло создать только божество, хотя в действительности она возникла в

Великая пирамида

Великая пирамида Крупнейшая из трех пирамид Гизы также является самой древней из них, и обычно именно с нее начинают свой обзор туристы. Возле нее разгружаются туристические автобусы, и рядом с ней крутая дорожка от отеля «Мена» выходит на плоскую террасу, нависающую над

Наружные ряды каменных блоков

Наружные ряды каменных блоков Внутренний каркас или ядро Великой пирамиды сложено из блоков известняка, добывавшихся прямо на месте и несколько варьирующихся по твердости и цвету. Этот известняк содержит достаточно много окаменелостей — остатков древних ракушек,

Израильтяне и Великая пирамида

Израильтяне и Великая пирамида Существует достаточно популярное предание, будто Великую пирамиду построили израильтяне, или, точнее, протоизраильтяне, томившиеся в рабстве в Египте. На самом деле не сохранилось никаких надежных свидетельств в пользу этой гипотезы, и

Великая пирамида и масоны (вольные каменщики)

Великая пирамида и масоны (вольные каменщики) Различные авторы возводят историю масонства (движения вольных каменщиков) ко временам древних египтян, а в некоторых случаях — ко времени строительства Великой пирамиды (Чёрчу-орд, 1898; Корниш, 1986, 1990; Феллоуз, 1877; Холл, 1937;

Хуфу и великая пирамида

Хуфу и великая пирамида Может быть, Снофру переместил поистине невероятный груз камней, но только его сын Хуфу (ок. 2589–2566 гг. до н. э.), более известный под греческим именем Хеопс, обессмертил себя постройкой предела канонической формы — самой большой и самой совершенной

ВЕЛИКАЯ ПИРАМИДА: ЗАГАДКА ПУСТЫНИ

ВЕЛИКАЯ ПИРАМИДА: ЗАГАДКА ПУСТЫНИ Фотография Алекса Иба (лицензия свободной документации «GNU»). Великая пирамида (фрагмент)Самым древним и единственным сохранившимся из семи чудес света является Великая пирамида в Гизе. Это не только символ Древнего Египта — это символ

Формирование блоков и начало борьбы за передел мира

Формирование блоков и начало борьбы за передел мира Франко-прусская война, закончившаяся разгромом Франции, породила множество проблем. Бисмарк очень скоро понял, что французское общество никогда не смирится с перенесенным унижением и будет стремиться к реваншу.

Таблица 2. Калибр и количество снарядов, выпущенных главной артиллерией кораблей противников, и количество попаданий в Ютландском бою

Таблица 2. Калибр и количество снарядов, выпущенных главной артиллерией кораблей противников, и количество попаданий в Ютландском

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *